Семинар 1 - Исследование механизма переключения скоростей

Поставновка задачи
Рассмотрим простой механизм переключения скоростей (rate control): Пусть в каждом канале известен SNR (допустим, что шум является аддитивным белым гауссовым). При известном SNR для каждой скорости в канале будет свой $$~PER_i$$, где $$~ i$$ текущая скорость (ее номер или индекс), $$~i \in [1; I]$$.
 * При $$~s$$ последовательных успешных попытках передачи скорость увеличивается;
 * При $$~e$$ последовательных неудачных попытках передач скорость уменьшается.

Требуется выяснить пропускную способность сети в режиме насыщения.

Все пакеты имеют одинаковую длину $$~L$$. Вероятность искажения ACK входит в PER. $$~S(N)$$ -- пропускная способность мети в зависимости от числа станций. Сеть одношаговая.

Цепь Маркова
Опишем процесс переключения скоростей цепью Маркова.

Состояние в такой цепи будем описывать тремя индексами:

$$~i$$ -- текущая скорость

$$~j$$ -- счетчик последовательных успехов/неудач на данной станции

$$\pm$$ -- индикатор успеха/неудачи последней передачи

$$~R_{i,j,\pm}$$ -- стационарная вероятность соответствующего состояния

Рассмотрим другую цепь Маркова с макросостояниями, описываемими только значением текущей битовой скорости. Такая цепь Маркова описывает известный в литературе процесс "рождения-гибели"

$$R_i$$ -- стационарная вероятность состояния для новой цепи Маркова

Уравнения баланса для каждого из состояний: $$R_i \cdot \lambda_i = R_{i+1} \cdot \mu_{i+1}$$

Условие нормировки: $$~\sum_i R_i = 1$$

$$R_{i+1} = R_i \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}$$

$$R_j = \frac{\lambda_{i-1}}{\mu_i} \cdot \frac{\lambda_{i-2}}{\mu_{i-1}}\cdot \dots \cdot \frac{\lambda_1}{\mu_2} R_1 = (\prod^{j-1}_{i=1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}) R_1$$

$$\sum_j \prod_{i=1}^{j-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} R_1 = 1$$

$$R1 = \frac{1}{\sum_j^I \prod_{i=1}^{j-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}}$$

$$R_i = \sum_{k=1}^{s-1} R_{ik}^+ + \sum_{k=1}^{e-1} R_{ik}^- + R_{i0}^+ + R_{i0}^-$$

$$\lambda_i = \frac{(1-p_i) R_{1,s-1}^+}{R_i}$$

$$\mu_i = \frac{p_i R_{i,e-1}^-}{R_i}$$

$$R_{i,k+1}^+ = (1 - p_i)R_{i,k}^+ =(1 - p_i)^k R_{i,1}^+$$

$$R_{i,k+1}^- = p_i R_{i,k}^- = p_i^k R_{i,1}^-$$

$$R_{i1}^- = (1 - p_i)(\sum_{k=1}^{e-1} R_{ik}^+ + R{i0}^+ + R_{i0}^-)$$

$$R_{i1}^+ = p_i(\sum_{k=1}^{s-1} R_{ik}^+ + R{i0}^+ + R_{i0}^-)$$

$$\lambda_i = \frac{p_i (1 - p_i)^s}{1 - (1 - p_i)^s}$$

$$\mu_i = \frac{(1 - p_i) p_i^e}{1 - p_i^e}$$

$$R_{ij}^+ = \frac{p_i (1 - p_i)^j}{1 - (1 - p_i)^s} R_i$$

$$R_{ij}^- = \frac{(1 - p_i) p_i^j}{1 - p_i^e} R_i$$

$$R_{i0}^+ = \lambda_{i-1} R_{i-1} = \mu_i R_i$$

$$R_{i0}^- = \lambda_i R_i $$

Для вычисления пропускной способности воспользуемся моделью Бьянки:


 * $$~p_{e} = (1 - \tau)^N$$ – пустой слот (ни одна станция не передает)
 * $$~p_{s} = N \tau (1 - \tau)^{N-1}$$ – успешный слот (передает одна станция, остальные молчат)
 * $$~p_{c} = 1 - (1 - \tau)^N - N \tau (1 - \tau)^{N-1}$$ – коллизионный слот (одновременно передает более одной станции)

$$~T_c = \sigma$$

$$~T_s = \sum_{i=1}^I R_i [(T_i^{DATA} + sifs + T_i^{ACK} + difs) (1 - p_i) + (T_i^{DATA} + eifs)p_i]$$

$$T_c = \frac{1}{p_c} \sum_{k=2}^N T_c^{(k)} C_N^k \tau^k (1 - tau)^{N-k}$$

$$~T_c^{(k)} = \sum_{k=2}^{I-1} T_I^{DATA} \sum_{m=1}^K C_k^m R_i^m [\sum_{j=1}^I R_j]^{k-m} + T_i^{DATA} R_i^k + eifs$$

$$U = L \sum_{i=1}^I R_i (1 - p_i)$$ -- среднее количество информации за слот

$$S = \frac{p_s \cdot U}{p_e T_e + p_s T_s + p_c T_c}$$